The Dirichlet problem for the fractional Laplacian
No Thumbnail Available
Date
2017-12
Authors
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Izmir Institute of Technology
Open Access Color
Green Open Access
Yes
OpenAIRE Downloads
OpenAIRE Views
Publicly Funded
No
Abstract
This thesis is an introduction to the fractional Sobolev spaces and the fractional
Laplace operator. We define the fractional Sobolev spaces and give their properties by
comparing them with the classical version of Sobolev spaces. After giving the motivation
that comes from the random walk theory, we define the fractional Laplacian. We focus
on the mean-value property of s-harmonic functions and get into details of extension and
maximum principle of the weak solution of the Dirichlet problem for the fractional Laplacian.
Afterall, we explain the regularity of the weak solution of the Dirichlet problem for
the fractional Laplacian inside a domain and up to the boundary, respectively.
Bu tez kesirli Sobolev uzayları ve kesirli Laplas operatörü için bir tanıtımdır. Kesirli Sobolev uzayları tanımlanmış ve özellikleri, klasik Sobolev uzayları ile kıyaslanarak verilmiştir. Rassal yürüyüş teorisinden gelen motivasyon ile kesirli Laplasyan tanımlanmıştır. S -harmonik fonksiyonların ortalama-değer özelliği üzerinde durulmuş ve kesirli Laplasyan için Dirichlet probleminin zayıf çözümlerinin genişleme ve maksimum prensipleri detaylıca işlenmiştir. Tüm bu çalışmadan sonra, kesirli Laplasyan için Dirichlet probleminin zayıf çözümlerinin, sırasıyla tanım kümesinin iç kısmında ve kapanışındaki düzgünlüğü anlatılmıştır.
Bu tez kesirli Sobolev uzayları ve kesirli Laplas operatörü için bir tanıtımdır. Kesirli Sobolev uzayları tanımlanmış ve özellikleri, klasik Sobolev uzayları ile kıyaslanarak verilmiştir. Rassal yürüyüş teorisinden gelen motivasyon ile kesirli Laplasyan tanımlanmıştır. S -harmonik fonksiyonların ortalama-değer özelliği üzerinde durulmuş ve kesirli Laplasyan için Dirichlet probleminin zayıf çözümlerinin genişleme ve maksimum prensipleri detaylıca işlenmiştir. Tüm bu çalışmadan sonra, kesirli Laplasyan için Dirichlet probleminin zayıf çözümlerinin, sırasıyla tanım kümesinin iç kısmında ve kapanışındaki düzgünlüğü anlatılmıştır.
Description
Thesis (Master)--Izmir Institute of Technology, Mathematics, Izmir, 2017
Includes bibliographical references (leaves: 66)
Text in English; Abstract: Turkish and English
Includes bibliographical references (leaves: 66)
Text in English; Abstract: Turkish and English
Keywords
Dirichlet problem, Sobolev spaces, Laplace’s equation, Fractional Laplacian, Matematik, Mathematics