Exactly solvable generalized quantum harmonic oscillators related with the classical orthogonal polynomials

Abstract

In this thesis, we study exactly solvable generalized parametric oscillators related with the classical orthogonal polynomials of Hermite, Laguerre and Jacobi type. These quantum models with specific damping term, frequency and external forces are solved using Wei-Norman Lie algebraic approach. The exact form of the evolution operator is explicitly obtained in terms of two linearly independent homogeneous solutions and a particular solution of the corresponding classical equation of motion. Then, time evolution of wave functions and Glauber coherent states are constructed. Probability densities, expectation values and uncertainty relations are found and their properties are investigated according to the influence of the external forces. Besides, some examples with explicit solutions are given and their plots are constructed for the probability densities and uncertainty relations.

Bu tezde Hermite, Laguerre ve Jacobi tipi klasik ortogonal polinomlarla ilişkili tam çözülebilen genelleştirilmiş parametrik osilatörler çalışılmıştır. Bu özel sönümleyici terimli, frekanslı ve dış kuvvetli kuantum modeller Wei-Norman Lie cebri yaklaşımı kullanılarak çözülmüştür. Evrim operatörünün tam formu buna karşılık gelen hareket denkleminin homojen iki lineer bağımsız ve bir özel çözümü cinsinden açıkça elde edilmiştir. Daha sonra, dalga fonksiyonlarının ve Glauber eş uyumlu durumlarının zamanla evrimi inşa edilmiştir. Olasılık yoğunlukları, beklenen değerler ve belirsizlik ilişkileri bulunmuş ve bunların özellikleri dış kuvvetlerin etkisine göre incelenmiştir. Bunun yanı sıra, açık çözümlü bazı örnekler verilmiş ve bunların grafikleri olasılık yoğunlukları ve eş uyumlu durumları için oluşturulmuştur.